¿Qué es un Canal Simétrico Binario y como se representa?

Publicado: 19 enero 2011 en 18 de Enero de 2011

Un Canal Binario Simétrico (en inglés Binary Symmetric Channel, BSC en adelante) es un canal típico de comunicaciones usado habitalmente en la teoría de códigos y teoría de la información. En este modelo, el transmisor envía un bit (que puede tomar valor cero o uno), y el receptor lo recibe. Este bit se recibirá correctamente en la mayoría de los casos, pero existe una probabilidad (probabilidad de error) de que se transmita incorrectamente. La importancia de este canal reside en ser uno de los más simples de analizar, es por ello por lo que es utilizado frecuentemente en la teoría de la información.

Binary symmetric channel (en).svg

El BSC es un canal binario que puede transmitir uno de dos símbolos posibles (denominados 0 y 1). La transmisión no es perfecta, y ocasionalmente el receptor recibe el bit equivocado. Nótese que un canal no binario sería capaz de transmistir más de dos símbolos, habiendo múltiples posibilidades.

Este canal se suele usar con bastante frecuencia por ser uno de los más simples para analizar. Es por ello por lo que muchos problemas de la teoría de la comunicación se simplifican mediante un modelo BSC. Un BSC puede ser una solución aproximada aceptable para un canal de mayor complejidad.

Un canal binario simétrico con probabilidad p de fallo es un canal con una entrada binaria y una salida (también binaria), definida con una probabilidad de error p. Esto viene a significar, que si una variable aleatoria X se transmite, y se recibe la variable aleatoria Y, entonces el canal viene determinado por las siguientes probabilidad condicionada

Pr( Y = 0 | X = 0) = 1-p
Pr( Y = 0 | X = 1) = p
Pr( Y = 1 | X = 0 ) = p
Pr( Y = 1 | X = 1 ) = 1-p

Donde 0 ≤ p ≤ 1/2. Si p>1/2 entonces el receptor obtendría los bits contrarios (interpretar un 1 cuando se recibe un 0, y viceversa), obteniéndose un canal equivalente con probabilidad de fallo 1-p ≤ 1/2.

Capacidad de un BSC y RepresentaciónCanal binario simétrico, la probabilidad de error de bit es p.

Para el caso del canal binario simétrico con probabilidad de error de bit p, su capacidad viene dada por

C = 1 - H(p) \,

La función H(p) = - p \cdot \log_2 p - ( 1 - p ) \cdot \log_2 (1 - p) es una función que aparece mucho en teoría de la información. Se trata de una función cóncava (y por tanto cumple la desigualdad de Jensen) y alcanza su máximo, igual a 1, cuando p = 0.5, por otro lado, cuando p = 0 o p = 1 vale 0.

La capacidad C \, de este canal es cero cuando p = 0.5, esto tiene sentido ya que en este caso el canal confunde los ceros y los unos con igual probabilidad lo que significa que es un canal inservible para enviar información, su capacidad es nula.

Note que si un canal tuviese probabilidad de error de bit p = 1 eso no significa que sea un canal malo, todo lo contrario. Bastaría con invertir los bits antes de enviarlos para tener un canal ideal (con probabilidad p = 0).
La matriz de transición es:

Referencias:
http://es.wikipedia.org/wiki/Canal_binario_sim%C3%A9trico
http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_symmetric_channel

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