Transformada de Fourier, sus propiedades y Teorema de la Energia de Rayleigh

Publicado: 24 enero 2011 en Clase 4

TRANSFORMADA DE FOURIER Y SUS PROPIEDADES

La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t). La transformada de Fourier nos permite extender las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de  funciones no periódicas.

Considerando el siguiente Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.

Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2

Lo anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w.

Así, la serie:

al cambiar la “variable discreta” nw0 por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH

La potencia total de una señal periódica se puede asociar con la suma de las potencias contenidas en cada componente de frecuencia (teorema de Parseval).

La misma clase de resultado es de esperar en el caso de señales no periódicas representadas por sus transformadas de Fourier.

 

 

Este es el “teorema de rayleigh”; también conocido como “teorema de plancherel”. establece que la energía contenida en una señal x(t) es igual al área bajo el cuadrado del módulo de la transformada de x(t), es decir, |x(f)|2.

La cantidad |x(f)|2 se denomina “espectro de energía” o “densidad espectral de energía” de la señal x(t), y  |x(f)|2 df es la energía contenida en un ancho de banda infinitesimal df.

Para poder aplicar este teorema solo necesitamos conocer el espectro de amplitud |x(f)|  de la señal.

El espectro de energía, más que el espectro de potencia, es la caracterización más apropiada para señales que poseen una transformada de Fourier.

En el sentido físico, el teorema de Raleigh indica que “la energía de una señal no depende del modo de representación de la señal”. la energía es un invariante y es la misma así se tenga una representación temporal o una representación espectral de la señal.

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